Παρασκευή, 14 Φεβρουαρίου 2014

Φ - O χρυσός αριθμός - Εισαγωγή στην Παγκόσμια Σταθερά της Θεϊκής Αναλογίας (Μέρος 1ο)



Ξεκινάμε το αφιέρωμα μας στο ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ γνωστό και ως Φ για τον οποίο πολύ λίγοι γνωρίζουμε πολύ λίγα. Το αφιέρωμα μας δεν γνωρίζω την έκταση και την επαρκή κάλυψη που θα έχει επί του θέματος. Λάβετε υπόψη σας ότι δεν είμαι Μαθηματικός... Θα προσπαθήσουμε να καταγράψουμε το σύνολο των περιπτώσεων /αναφορών όπου "εμφανίζεται" ο αγαπημένος μου αριθμός. Όσοι δεν έχετε ακούσει ξανά για τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ να είστε σίγουροι ότι θα μείνετε έκπληκτοι!!!


O αριθμός Φ έχει πάρει το όνομα του - Συμβολισμό από τον ΦΕΙΔΙΑ, ο οποίος ήταν ο πρώτος που τον χρησιμοποίησε. Ο Φειδίας ήταν Αθηναίος Γλύπτης (5ος αιώνας π.Χ) και στενός συνεργάτης του Περικλή (Τρία αγάλματα της Αθηνάς έστΗσε ο Φειδίας στην Ακρόπολη: την Πρόμαχο, τη Λημνία και τη Χρυσελεφάντινη. Όμοιο σε μέγεθος και υλικά κατασκευής ήταν και το άγαλμα του χρυσελεφάντινου Δία της Ολυμπίας, έργο του ίδιου γλύπτη και ένα από τα επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου.)

Πατέρας του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - Φ - είναι ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ.



Ο Πυθαγόρας (585 - 500 π.Χ.) γεννήθηκε στη Σάμο, αλλά έζησε και έδρασε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Ο Πυθαγόρας είναι ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής. Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του "φιλόσοφο" και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή, ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη, γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά αντικείμενα. Για τους πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις.

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ και η "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ".

Την φράση "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" σίγουρα την έχετε ακούσει. Χρησιμοποιείται ευρύτερα και σημαίνει να "βρούμε την σωστή λύση", την κατάλληλη λύση δηλαδή που πρέπει ή που ταιριάζει σε κάποιο πολιτικό ή κοινωνικό ή οικονομικό θέμα κ.λ.π. Η "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" όμως έχει "ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ", είναι γνωστή ως το "γεωμετρικό πρόβλημα" της "Χρυσής Τομής".



Το πρόβλημα της "ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ" έχει ως εξής (με απλά λόγια) :
Να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή σε δύο μέρη τέτοια (μη ίσα μεταξύ τους), ώστε το ένα να είναι μέσο ανάλογο του ευθύγραμμου τμήματος και του άλλου μέρους.
Ακόμα πιο απλά ...: Να διαιρεθεί (το ευθύγραμμο τμήμα) σε εκείνο το σημείο όπου ο λόγος του "μικρότερου τμήματος" προς "το μεγαλύτερο τμήμα" να είναι ΙΣΟΣ με τον λόγο του "μεγαλύτερου τμήματος" προς το "συνολικό μήκος του τμήματος " ή αντιστρέφοντας τα κλάσματα ...

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ = ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ.

Με την γεωμετρική κατασκευή του διαίρεσης (τομής) ενός ευθύγραμμου τμήματος σε ΜΕΣΟ και ΑΚΡΟ λόγο ασχολείται ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ στο σύγγραμμα του "ΣΤΟΙΧΕΙΑ" και το θέτει ως εξής:
"Nα διαιρεθεί ευθύγραμμο τμήμα σε δύο μέρη τέτοια , ώστε το ορθογώνιο που έχει βάση το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα και ύψος το μικρότερο από τα δύο τμήματα , να είναι ισοδύναμο προς το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο τμήμα".



Ο όρος "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" για το πρόβλημα αυτό καθιερώθηκε το 1835, επειδή θεωρήθηκε ότι με την τομή αυτή έχομε το κριτήριο του ΩΡΑΙΟΥ στην Αρχιτεκτονική, στην Ζωγραφική και γενικά σε όλες τις ΤΕΧΝΕΣ και όχι μόνο όπως θα διαπιστώσουμε στα επόμενα άρθρα μας.
Κατά τον ΙΕ αιώνα ο Λούκα Πατσιόλι χρησιμοποιεί ευρύτατα την τομή αυτή στα συγγράμματα του για τα κανονικά στερεά σώματα και την ονομάζει "ΘΕΙΚΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑΝ" (δεν έχει και άδικο...)

Ας προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και να δούμε κάποιες ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ εφαρμογές του (αφήστε το μυαλό "ελεύθερο")


Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ:



Στο σχήμα 1 παρακάτω, έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ . Εστω Γ είναι το σημείο που διαιρεί σε "χρυσή τομή" το ΑΒ. Εάν ορίσουμε το ΑΒ = α και ΑΓ = χ τότε θα έχουμε:
==> AB / AΓ = ΑΓ / ΒΓ ή α / χ = χ / (α-χ) 

Από την σχέση αυτή προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση 
χ2 (χ στο τετράγωνο) + αχ - α2 (α στο τετράγωνο) = 0

Από την οποία βρίσκουμε την τιμή της χ (=ΑΓ), πραγματικά έχουμε ...
χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) που σημαίνει ότι. ...

Το άγνωστο τμήμα χ (ΑΓ) είναι η μικρότερη πλευρά ενός ορθογώνιου παραλληλογράμμου, το οποίο είναι ισοδύναμο με τετράγωνο πλευράς α (ΑΒ) και του οποίου (ορθογωνίου) οι διαστάσεις (πλευρές) διαφέρουν κατά α.


Σχήμα 1

Β. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ "ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ" ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ (ΣΧΗΜΑ1)

Από το Β υψώνουμε κάθετο ΒΚ=α/2. Με κέντρο το Κ και ακτίνα ΚΒ=α/2, γράφουμε περιφέρεια Κύκλου. Από το Α φέρνουμε την ευθεία ΑΚ, η οποία και θα τέμνει την περιφέρεια του Κύκλου στα σημεία Δ και Ε.

Γράφουμε επίσης περιφέρεια Κύκλου με κέντρο το Α και ακτίνα την απόσταση ΑΔ. Το σημείο Γ, όπου η περιφέρεια αυτή τέμνει το τμήμα ΑΒ, είναι το ζητούμενο σημείο , που τέμνει με "ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ" το τμήμα ΑΒ.

Γ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ - Φ -



Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ είναι Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ενός ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ σε δύο μέρη έτσι ώστε:

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ = ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ. 

Ε, αυτός ο Λόγος = το πηλίκο είναι ένας σταθερός αριθμός ανεξάρτητα από το μέγεθος, μήκος του τμήματος και καλείται ως  Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ο ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ - Φ -

Δ. Η "ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ" ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ

Μην μπερδεύεστε, όταν μιλάμε για ένα μετρήσιμο μέγεθος (εδώ μιλάμε για ένα ευθύγραμμο τμήμα, θα μπορούσαμε να μιλάμε για το ύψος ενός πύργου, για κιλά πατάτες, για μια σφαίρα, για μία "αστρονομική μονάδα" κ.λ.π) στην παραπάνω διατύπωση του προβλήματος της διαίρεσης του "μετρήσιμου μεγέθους=τμήμα ΑΒ", σημασία δεν έχει το μήκος του τμήματος αφού μιλάμε για λόγο/πηλίκο των τμημάτων του σε μία συγκεκριμένη (ζητούμενη) σχέση μεταξύ τους, η οποία δεν διαταράσσεται είτε το τμήμα είναι 300 χιλ είτε 3 χιλιοστά, εδώ συγκρίνουμε μέρη ενός συνόλου μεταξύ τους, μιλάμε - έχουμε ΣΥΓΚΡΙΣΗ - ΑΝΑΛΟΓΙΑ!



Αρα : H επιδιωκόμενη κατάτμηση (ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ) σε δύο μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος έτσι ώστε να ΤΗΡΕΙΤΑΙ ότι ....

Ο ΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΠΡΟΣ ΤΟ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ =(είναι ίσος) ΜΕ ΤΟΝ ΛΟΓΟ... 
ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΗΚΟΣ (ΟΛΟ) ΠΡΟΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟ ΤΜΗΜΑ. = 
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ (Φ)

...είναι ανεξάρτητη από το μήκος - μέγεθος του συνολικού μήκους του ευθύγραμμου τμήματος, ο λόγος αυτός (χρυσός αριθμός) είναι ένας ΣΤΑΘΕΡΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, και γενικεύοντας μπορεί να βρει ανάλογη χρυσή εφαρμογή και σε άλλα μετρήσιμα μεγέθη (θα το δούμε....)

Ε. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ / ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ως "ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ"

Το 1871 για την ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ χρησιμοποιήθηκε και ο όρος "ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ" .Είδαμε στην παράγραφο Α της παρούσης ότι ισχύει : 

χ(χ+α) = α2 (α στο τετράγωνο) όπου ΑΒ = α και ΑΓ = χ.



Προσέξτε... α=ΑΒ, ίσο δηλαδή με το ευθύγραμμο τμήμα (του παραδείγματος μας), το οποίο τμήμα θα μπορούσε να είναι η γραφική παράσταση - απεικόνιση ΜΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ=1 π.χ 1 μέτρο, 1 αστρονομική μονάδα* ή γενικεύοντας η γραφική παράσταση σε ευθύγραμμο τμήμα πχ 1 τετραγωνικού χιλιόμετρου κ.λ.π. 

Άρα .... εάν θέσουμε όπου α=1 (μονάδα μέτρησης του ΤΑΔΕ μεγέθους)
θα έχουμε χ(χ+α) = α2 ==> χ(χ+1) = 1 ==> Χ=1/(1-Χ)=ΑΓ

Θυμάστε όμως ότι :
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ο λόγος... ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΤΟ ΤΜΗΜΑ /προς ΜΕΓΑΛΟ ΤΜΗΜΑ , άρα α=ΑΒ=1(είπαμε α=1) / προς χ=ΑΓ=1/(1-Χ)

                                                    ΑΒ = α = 1                        1
ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ = ------------------------------- = ------------------
                                                    ΑΓ = χ = 1/(1-Χ)           1 / (1-χ)

Αντικαθιστώντας το Χ κάθε φορά με το ίσο του (Χ=1/(1-Χ) θα έχουμε μία συνεχή διαίρεση όπου...

ΣΤ . ΜΕ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ ΤΕΛΙΚΑ ... Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ?
......(κάνοντας σωστά τις πράξεις....)



ή αλλιώς 



Ο Χρυσός Αριθμός Φ αποτελεί ρίζα της γενικής εξίσωσης : 



Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ είναι δηλαδή ίσος με

Φ= 1,618034 ... ισχύει και ότι .. 1/Φ=0,618034

Και μάλιστα τα δεκαδικά συνεχίζονται χωρίς καμία περιοδικότητα - επανάληψη των ψηφίων τυχαία και "χρυσά". Πάρτε ένα κομπιουτεράκι τσέπης και υψώστε το Φ στο τετράγωνο θα διαπιστώσετε έκπληκτοι ότι εάν υψώσεις  το "Φ" στο τετράγωνο είναι σαν να προσθέτεις την μονάδα.... δηλαδή ισχύει :



Ζ. Leonardo Fibonachi - η Σειρά Fibonachi !!

Ο Leonardo Fibonachi Ιταλός έμπορας (13ος αιώνας μ.Χ.) ο οποίος ταξίδευσε στην Ανατολή , όταν οι ΣΤΑΥΡΟΦΟΡΟΙ κατέλαβαν την ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗ το 1204 έκλεψε τα βιβλία των ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ και όταν επέστρεψε έγραψε το Liber Abaci(120 βιβλίο του άβακα).

Στο βιβλίο του Practica geometriae 1220 ο Λενάρδος περιέγραψε,με όμοιο τρόπο την όποια γνώση υπήρχε μέχρι τότε στην γεωμετρία και την τριγωνομετρία. Ο Leonardo Fibonachi φέρεται να είναι εκείνος που επινόησε την γνωστή με το όνομα του "ακολουθία Φιμπονάτσι" . Η ακολουθία αυτή , έχει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό , κάθε όρος της είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων .
Κατασκευή της ακολουθίας Fibonachi .

Ξεκινάμε με το 1 και έχουμε μετά...

1 + 0 = 1(πάλι) 3 + 5 = 8 21 + 34 = 55 κ.ο.κ. 
1 + 1 = 2 5 + 8 = 13 
1 + 2 = 3 8 + 13 = 21 
2 + 3 = 5 .... ===> 13 + 21 = 34

Άρα η σειρά Fibonachi είναι η ακόλουθη 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610 κ.ο.κ (μην μου πείτε "ε και..? ".... γιατί..)

Η. Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonachi ΚΑΙ Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ.

Να δούμε τώρα την καταπληκτική "θεική" sxesi της σειράς Fibonachi με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ=1,618034.

Κάντε το εξής απλό: διαιρέστε κάθε όρο της ακολουθίας με τον αμέσως επόμενο όρο (αντιστρέψτε το κλάσμα ) και συγκρίνετε το αποτέλεσμα με το Φ.


Ν ΌΡΟΣ / Ν+1 ΌΡΟΣ
ΑΝΤΙΣΤΡΈΦΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΆΣΜΑ
ΑΠΟΤΈΛΕΣΜΑ 
|ΔΙΑΦΟΡΆ| ΑΠΌ Φ=1,6180
Ν ΌΡΟΣ / Ν+1 ΌΡΟΣ
ΑΝΤΙΣΤΡΈΦΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΆΣΜΑ
ΑΠΟΤΈΛΕΣΜΑ
|ΔΙΑΦΟΡΆ| ΑΠΌ Φ=1,618
1/2
2/1
1
0,618
8/13
13/8
1,625
0,007
2/3
3/2
1,5
0,118
13/21
21/13
1,6153
0,0026
3/5
5/3
1,666
0,0486
21/34
34/21
1,6190
0,0010
5/8
8/5
1,6
0,018
34/55
55/34
1,6176
0,0003

Διαπιστώσατε την χρυσή σχέση μεταξύ "ακολουθίας" Fibonachi και του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ;

Όσο πιο πολύ προχωρούμε στους μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας Fibonachi και κάνουμε την διαίρεση, τόσο πιο πολύ προσεγγίζουμε με καταπληκτική ακρίβεια τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ 1,618034.
Εάν δεν το έχετε συνειδητοποιήσει να σας το "θυμίσω"... , τι κάναμε με τους όρους της ακολουθίας Fibonachi:

Διαιρούσαμε δύο αριθμούς (άνισους) μίας ακολουθίας μεταξύ τους , ...άρα νοητά διαιρούσαμε τα μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος και βλέπαμε το "αριθμητικό" αποτέλεσμα της σύγκρισης , της αναλογίας (σας θυμίζει τίποτα;) . Επίσης συνεχώς εμβαθύναμε την σύγκριση των όρων προχωρώντας στους μεγαλύτερους από αυτούς (π.χ 34,55 κ.λ.π) κάναμε δηλαδή μία έμμεση ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ (σας θυμίζει τίποτα και αυτό ;)

Θ. Γεωμετρική κατασκευή ενός ορθογώνιου παραλληλόγραμμου όπου οι αναλογίες των πλευρών είναι ίσες με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ Φ

 -  -  -  -  - 

(τα βήματα είναι απλά ... και μπορείτε να τα απομνημονεύσετε θα σας χρειασθούν...) 

Ι. Συμπεράσματα - Συνοψίζοντας:

Χρυσή τομή ενός ευθύγραμμου τμήματος (γενικά και ενός μετρήσιμου μεγέθους) είναι το σημείο εκείνο όπου ο λόγος του "συνολικού μεγέθους-τμήματος" προς τον μεγαλύτερο τμήμα ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ με τον λόγο του "μεγαλύτερου τμήματος" προς το "μικρότερο τμήμα". Ο λόγος σε αυτή την περίπτωση ισούται με τον ΧΡΥΣΟ ΑΡΙΘΜΟ και είναι ίσος με Φ=1,618034.

Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία ΣΤΑΘΕΡΑ, ανεξάρτητη από το μετρήσιμο μέγεθος και το είδος που γραφικά απεικονίζεται με το "ευθύγραμμο τμήμα" , αναφέρεται κυρίως σε ΑΝΑΛΟΓΙΑ - ΣΥΝΘΕΣΗ των επιμέρους στοιχείων που συνθέτουν ένα σύνολο (π.χ πλευρές ορθογώνιου παραλληλογράμμου).



Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ είναι μία "ΣΥΝΕΧΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ", όσο πιο πολύ βάθος έχει η ΣΥΝΕΧΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ τόσα πιο πολλά δεκαδικά και ακριβέστερη απεικόνιση έχουμε του ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ "προσεγγίζεται" από την διαίρεση των όρων που συνθέτουν την ακολουθία Fibonachi.

Αλλά ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ δεν είναι ένα απλό Μαθηματικό τρικ, δεν είναι ένα θεώρημα, μία μαθηματική "τιμή" της γεωμετρικής κατασκευής του "θεωρήματος της ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ", είναι μία ΘΕΪΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ, μία ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΑ, ένα μυστήριο ΖΩΗΣ που συναντάμε σχεδόν καθημερινά, ίσως και να του χρωστάμε περισσότερα από ότι νομίζουμε ...ίσως ... και την ύπαρξη μας...!

Ολα αυτά θα τα δούμε στο επόμενο άρθρο μας Φυσικά....

(Όπως καταλάβατε, ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ...)

Πηγή: asxetos